1-9. Komplexe Zahlen 1-10. Komplexe Arithmetik. 1-11. Parallelschaltung von Impedanzen. 1-12. Parallel resonance. 1-13. Dynamic resistance. 1-14. Double slash notation. 1-15. Parallel to series transformation.

1-15a. f and Q of parallel impedance. 1-15b. Magnitude of parallel impedance. 1-16. Series to parallel transformation. 1-17. Parallel resonator in parallel form. 1-18. Imaginary resonance and critical resistance. 1-19. Phase analysis. 1-20. Resistance tuning?

1-9. Komplexe Zahlen
Obschon das Zeigerdiagramm, das im vorangegangenen Teil vorgestellt wurde, für die Skalierung und Addition von Vektoren brauchbar ist (siehe Reihenschaltungen), so sperrig erweist es sich bei der Lösung von Problemen, die die Multiplikation und Division von Vektoren erfordern, die ganz wichtig bei der Analyse von Netzwerken sind, die Parallelschaltungen von Impedanzen enthalten.
Although the graphical 'phasor diagram' approach outlined in the previous sections is suitable for problems involving phasor addition and scaling (i.e., series networks); it is somewhat intractable for solving problems involving phasor multiplication and division, one of particular importance being that of how to analyse networks involving impedances in parallel.

Im Punkt 1-1 haben wir einen Ausdruck für parallel geschaltete Widerstände hergeleitet, der auch für parallel geschaltete Blindwiderstände gilt:
In section 1-1 we derived an expression for resistances in parallel, and also by inference an expression for reactances in parallel, i.e.,
R=R1R2/(R1+R2)
X=X1X2/(X1+X2)

Es sollte daher nicht überraschen, dass, wenn wir die Übung mit Impedanzen statt mit Blindwiderständen oder ohmschen Widerständen wiederholen, am Ende folgender Ausdruck entsteht:
It should come as no surprise that, if we repeat the exercise with impedances instead of reactances or resistances, applying ordinary arithmetical operations to the phasors without knowing what they mean, we end up with the expression:

Z=Z1Z2/(Z1+Z2)

Jetzt aber haben wir das Problem, diese Gleichung zu interpretieren. Wenn wir damit fortfahren, Vektoren als Liste zu betrachten, eine ziemlich unpraktische Angelegenheit. Aber die Tatsache, dass wir es ja nur mit zweidimensionalen Vektoren zu tun haben, eröffnet uns einen schnellen Zugang dadurch, dass wir sie als komplexe Zahlen behandeln.
The problem now is that of how to interpret this equation, a somewhat inconvenient matter if we continue to define phasors as comma-separated lists; but it transpires that there is a short-cut, due to the fact that we are only dealing with two-dimensional vectors, which is that such vectors can be treated as complex numbers.

Komplexe Zahlen sind zunächst als »notwendiges Übel« bei der Lösung quadratischer Gleichungen betrachtet worden, Gleichungen, die man in der Form ax²+bx+c=0 schreiben kann.
Complex numbers were first discovered as a 'necessary evil' in solving quadratic equations, i.e., equations which can be written in the form: ax²+bx+c=0.

Sie sind zunächst als ein Werk des Teufels erachtet worden. Fakt ist aber, dass die lediglich zeigen, gewöhnliche Zahlen sind noch nicht die ganze Miete.
They were once considered to be the work of the Devil, but in fact, they merely indicate that ordinary numbers are not the whole story.

Diejenigen, die quadratische Gleichungen in der Schule behandelt haben, aber niemals bis zu den komplexen Zhalen gekommen sind, werden überrascht sein, zu erfahren, dass alle dort behandelten Beispiele sorgfältig danach ausgewählt wurden, dass man zu deren Lösung keine komplexen Zahlen benötigt. Auch treibt das Schulsystem i.a. mehr Aufwand, die Schüler vor den komplexen Zahlen zu schützen, als darauf, ihnen das beizubringen.
Those who studied quadratic equations at school, but never got as far as complex numbers, may be surprised to learn that all of the examples they were given were deliberately chosen so as not to involve complex numbers; and that education systems in general expend more effort trying to protect students from the knowledge of complex numbers than they expend trying to teach the subject.

Eine Herleitung der allgemeinen Lösung aller quadratischen Gleichungen ist in der Box unten aufgezeigt und führt zu der bekannten Lösung:
A derivation of the general solution for all quadratic equations is shown in the box below, and results in the well known formula:

x=[-b±Ö(b²-4ac)]/2a 1-9.1

Diese Formel sieht erst einmal harmlos aus, doch was passiert, wenn 4ac einmal größer als b² ist?
The formula looks innocuous enough, but what happens when 4ac is larger than b²?

In diesem Fall enthält die Lösung für x eine Wurzel aus einer negativen Zahl (eine Zahl, die negativ wird, wenn man sie mit sich selbst multipliziert), eine Tatsache, die die Grundlagen der Arithmetik verbietet, denn das Quadrat einer Zahl muss immer positiv sein.
In that case, the solution for x has a term containing the square-root of a negative number (i.e., a number which is negative when multiplied by itself) even though the basic rules of arithmetic demand that when a number is squared, the answer must always be positive.

Nehmen wir als Beispiel die scheinbar unschuldige quadratische Gleichung x²-x+1=0.
Take, for example, the seemingly innocent quadratic equation x²-x+1=0.

In diesem Fall setzen wir a=1, b=-1 und c=1 und erhalten als Lösung:
In this case: a=1, b=-1, and c=1, and the solution is:

x=(1/2)±(Ö(-3))/2

Die beste Lösung ist hier, den Ausdruck unter der Wurzel zu reduzieren, somit wird
The best simplification we can manage is to factor out the square root of -1, i.e.,

x = 0.5 ±0.866Ö(-1)

Damit erhalten wir zwei Lösungen, nämlich x=0.5+0.866Ö(-1) und x=0.5-0.866Ö(-1), beide enthalten einen Teil, der eine reelle Zahl ist und einen Teil, der offenbar keine relle Zahl darstellt.
Thus there are two solutions, x = 0.5+0.866Ö(-1) and x = 0.5-0.866Ö(-1), both of which contain a part which is a real number, and a part which is not a real number.

Das, was nicht reell ist, ist imaginär, und diese exotische Größe »Ö(-1)« bekam durch Leonhard Euler (deutscher Mathematiker 1707-1783) das Symbol »i«, das die Mathematiker verwenden.
That which is not real is imaginary, and so the oddball quantity ' Ö(-1) ' was given the symbol ' i ', (by Leonhard Euler, 1707-1783) and this symbol is still used by mathematicians.

Als die Wissenschaftler, die sich mit der Elektrizität zu beschäftigten, merkten, dass sich dieser Zweig der Mathematik als brauchbar für ihre Zwecke erweist, war das »i« schon für den Strom reserviert, und so nutzte man den nächsten Buchstaben des Alphabets, »j«, für die Belange der elektrischen Berechnungen. Das »j« wird hier fett gedruckt, um es besser erkennen zu können.
When it became apparent to scientists researching into electricity that this branch of mathematics might be useful however, the symbol ' i ' had already been allocated to represent current, and so the next letter in the alphabet, ' j ', was allocated for use in conjunction with electrical problems (here we will write the symbol in bold, to make it easier to spot).

Damit können wir die Lösung, die sich nicht mehr vereinfachen lässt, schreiben:
Thus we can write the un-simplifiable solution to the previous example as:

x=0.5±0.866j

Das, was man nicht mehr vereinfachen kann, heisst komplex, und so ist in diesem Fall x eine komplexe Zahl.

That which is not simplifiable is complex, and so in this case, x is a complex number.

Das »j« wird der imaginäre Operator genannt, weil er in einer Weise auf eine Zahl wirkt, dass man diese nicht zu einer rellen Zahl hinzuaddieren kann.
' j ' is called the imaginary operator, because it operates on a number in such a way as to make it impossible to add it to a real number.

Als das »j« (oder »i«) entdeckt war, gingen die Mathematiker daran, allgemeine Lösungen für Gleichungen dritten und vierten Grades zu finden und stellten fest, dass kein anderer imaginärer Operator benötigt wird.
Once ' j ' (or ' i ' ) was discovered, mathematicians went on to find general solutions for cubic equations, and quartic equations (i.e., equations involving x³ and x), and it was proved that no other type of imaginary operator was required.

Das bedeutet, dass alle Zahlen auf die Summe eines rellen und eines imaginären Teils reduziert werden können. Das führt zu der allgemeinen Form einer Zahl
This means that all numbers can be reduced to the sum of a real part and an imaginary part, and expressed in the general form:

x=a+jb

wobei gilt: bei b=0, dann ist die Zahl rein rell, bei a=0 ist die Zahl rein imaginär.
with the proviso that sometimes b=0 and the number is purely real, and sometimes a=0 and the number is purely imaginary.

Wir dürfen nun aber komplexe Zahlen nicht als eigenartig bezeichnen, es ist viel mehr so, dass relle Zahlen ein Spezialfall der komplexen Zahlen sind, bei denen der imaginäre Teil Null ist.
Thus it is not so much that complex numbers are peculiar, but that real numbers are a special class of complex numbers which just happen to have the imaginary part equal to zero.

Als man verstanden hat, dass Zahlen generell komplex sind, bestand der nächste Schritt darin, herauszufinden, was das bedeutet.
Once it was understood that numbers are in general complex, the next step was to work out what this means.

Einen Anhaltspunkt finden wir in unserer Betrachten der Vektoren weiter oben.
The clue comes from our earlier discussion of vectors.

Als erstes können wir beobachten, dass alle reellen Zahlen auf einer Geraden liegen müssen, die von -∞ bis +∞ reicht.
Firstly, we may observe that all real numbers must lie on a line stretching between -¥ and +¥.

Als zweites können wir beobachten, dass j bewirkt, dass imaginäre Zahlen in einer anderen Dimension existieren als reelle Zahlen.
Secondly we may observe that j causes imaginary numbers to exist in a dimension separate from real numbers.

Der Effekt von j besteht in einer Drehung der Zahlengeraden um 90°.
Therefore the effect of j is to rotate the number-line through 90°.

Als drittes können wir beobachten, dass die Zahlen »0« und »0+j0« das gleiche sind, sich die reelle und die imaginäre Achse im Nullpunkt schneiden müssen.
Thirdly, we may observe that the numbers 0 and 0+j0 are the same, so that the real and imaginary number-lines must cross at 0.

Fazit: komplexe Zahlen (d.h. alle Zahlen) werden durch Punkte in einer Ebene dargestellt werden, was das gleiche meint, dass die Zahl »a+jb« als ein Punkt im Graph b über a gezeichnet werden kann.
The upshot is that complex numbers (i.e., all numbers) can be represented as points in a plane, which is the same as saying that the number a+jb can be plotted as a point on a graph of a vs b.

Dieser Graph ist natürlich der Zahlenraum und Abbildungen in diesem Raum sind als Argand-Diagramm bekannt geworden (französicher Mathematiker, 1768-1822)
This graph is, of course, number space, and maps in this space are known as Argand diagrams.

Stellen wir also fest, dass, komplexe Zahlen eine sehr große Ähnlichkeit zu Impedanzen aufweisen. Wären sie von Elektroingenieuren entdeckt worden, würden sie Impedanzen heißen.
We must observe, at this point, that complex numbers are so like impedances that had they been discovered by electrical engineers, they might well have been named after impedances.

Da komplexe Zahlen die grundlegende Zahlenklasse sind, von denen alle anderen abhängen, sind sie für die Lösung aller mathematischen Probleme unerlässlich. Doch an keiner Stelle ist der Zusammenhang so direkt und tiefgreifend, dass alles, was wir zu tun haben, um eine Impedanz in eine komplexe Zahl umzuwandeln, darin besteht, zu schreiben:
Naturally, since complex numbers are the general class of numbers to which all numbers belong, they are essential for solving all kinds of mathematical problems, but nowhere is the association so direct and so profound that all we have to do to convert an impedance into a complex number is to write:

Z=R+jX.

Das besagt, dass eine Impedanz eine Größe mit einem Realteil R und einem Imaginärteil X ist.
This says that impedance is a quantity with a real part R and an imaginary part X.

Die Begriffe »real« und »imaginär« treffen auch perfekt zu, denn die Scheinleistung (P=UIR), die in einem Widerstand umgesetzt wird, ist in der Tat reell, während die Scheinleistung (P=I|UX|), die in einem Blindwiderstand umgesetzt wird, rein imaginär ist.
The original terms 'real' and 'imaginary' are also perfectly appropriate, because the apparent power (P=IVR) dissipated in a resistance is indeed real, while the apparent power (P=I|VX|) dissipated in a pure reactance is entirely imaginary.

Somit ist es schwer, einen logischen Unterschied zwischen den beiden Aussgaen »Impedanzen können durch komplexe Zahlen dargestellt werden« und »Impedanzen sind komplexe Zahlen« zu machen.
Thus it is hard to make a logical distinction between the two statements: "impedances can be represented by complex numbers" and "impedances are complex numbers".

Aus den Beziehungen des ohmschen Gesetzes folgt also, wenn Impedanzen als komplexe Zahlen betrachtet werden können, dann gilt das auch für Spannungen und Ströme.
It follows also, from the relationships implicit in Ohm's law, that if impedances can be treated as complex numbers, then so too can voltages and currents.

Dies bedeutet jedoch keinesfalls, dass diese Größen damit aufhören, Vektoren zu sein.
This does not mean that these objects have somehow ceased to be vectors however, far from it.

Die Struktur komplexer Zahlen ist doch nichts anderes als eine Form zweidimensionaler Vektoren, die die polare und kartesische Form, die wir ja schon kennen, ergänzt.
The complex number form is just another two-dimensional vector representation, which complements the rectangular and polar forms we have already met.

Tatsächlich ist sie lediglich eine Version der kartesischen Form, bei der der 90°-Winkel zwischen den Dimensionen durch den Operator j erzwungen wird, und ein Vektor verhält sich, egal wie er definiert wurde, in der selben Weise.
In fact, it is merely a version of the rectangular form in which the 90° difference between the dimensions is imposed by the j operator; and a vector always behaves in the same way regardless of how it is defined.

Diese kleine Veränderung macht dennoch einen großen Unterschied, denn sie erlaubt es uns, Zeiger als ganz gewöhnliche Summen zu schreiben.
This minor change makes a huge difference however, because it allows a phasor to be written as an ordinary algebraic sum.

Ein Ausdruck mit einem j scheint nicht besonders einfach sein, doch er ist es in dem Sinn, dass die Regeln der gewöhnlichen Algebra die Existenz des j erfordern, und damit ist das j per definitionem ein Teil dieser Regeln.
An expression with j in it might not seem ordinary of course; but it is so in the sense that the existence of j is required by the rules of common arithmetic, and so j is by definition subject to those rules.

Die komplexe Darstellung eines Vektors macht dessen kartesische Form schließlich überflüssig.
The complex form of a phasor makes the rectangular form effectively redundant.

Die Transformationsregeln von der komplexen in die polare Form in der Tabelle sind den Regeln aus der Tabelle 1-5.3 sehr ähnlich.
The transformations from the complex to the polar form are given below, and are very similar to the transformations given in table 1-5.3.

Der Operator j kann auch als ein Zeigeroperator betrachtet werden, denn er wandelt einen gewöhnlichen Ausdruck in einen Zeiger um, ein weiterer Grund dafür, j fett zu drucken.
Notice also that j can be regarded as a phasor operator, because its effect on an algebraic expression is to turn that expression into a phasor (another good reason for writing j in bold).

Daraus folgt, dass, wir wollen ja »richtige« Vektorgleichungen aufstellen, wenn es auf der einen Seite des Gleichheitszeichens einen aktiven Zeiger gibt (d.h. einer, der weder durch die Wahl des Betrages oder eines Skalarproduktes in einen Skalar umgewandelt wurde), dann muss es auch einen aktiven Zeiger oder einen Ausdruck mit j (also einen aktiven Zeiger) auf der anderen Seite geben.
Hence, in the matter of writing properly balanced vector equations, we may note that if a live phasor (i.e., one which has not been turned into a scalar by taking a magnitude or a scalar product) exists one one side of the '=' symbol, then there must be a live phasor or an expression with j in it (i.e., a live phasor) on the other side.

1-10. Komplexe Arithmetik:

Komplexe Zahlen können genauso wie Vektoren addiert werden:
Complex numbers can be added in the same way as vectors, i.e.,

(R1+jX1)+(R2+jX2)=(R1+R2)+j(X1+X2)

und man kann sie ähnlich wie Vektoren auch skalieren:
and they can be scaled in the same way as vectors, i.e.,

s(R+jX)=sR+jsX

Es ist üblich, j vor den Ausdruck zu schreiben, auf den es wirken soll, dadurch wird es besser sichtbar.
(it is traditional to move j to the beginning of the term it operates on, to make its presence more obvious).

Wie wichtig diese Darstellung ist, erkennen wir jedoch daran, wie die Multiplikation komplexer Zahlen durchzuführen ist, und obwohl Audrücke, deren Real- und Imaginärteil nicht Null sind, nicht auf einfache Zahlen rediziert werden können, können wir die Multiplikation kreuzweise ausführen, indem wir beachten, dass j²=-1 ist.
The real power of the representation however, comes from the fact that we know immediately how to perform multiplication involving complex numbers because, although expressions having non-zero real and imaginary parts cannot be reduced to a single number, we can deal with the multiplication cross-terms by observing that j²=-1.
Somit wird:
Hence:

(R1+jX1)(R2+jX2) =R1R2+jX1R2+jX2R1+j²X1X2

=(R1R2-X1X2)+j(R1X2+X1R2)

Somit können wir komplexe Zahlen multiplizieren und erhalten ein Ergebnis, das in die Form »a+jb« gebracht werden kann.
Thus we can multiply two complex numbers and always obtain a result which can be re-arranged into the form 'a+jb'.
Dieses Ergebnis zeigt also, dass das gewöhnliche alebraische Produkt zweier Zeiger, AB, wieder ein Zeiger ist und nicht das gleiche wie das Punkt- oder Skalarprodukt AB.
This outcome demonstrates also that the ordinary algebraic product of two phasors, AB, is another phasor; and is not the same as the dot (scalar) product AB.

Dieses Produkt ist auch als komplexes Produkt oder Zeigerprodukt bekannt, und etwas anderes als das Kreuzprodukt der allgemeinen Vektortheorie.

The ordinary product is known as the complex product, or the phasor product, (and is also not the same as the cross product used in general vector theory).

Übrigens besagt »j²=-1« nichts anderes als dass der Rotation einer Zahl um 90°, gefolgt von einer weiteren Rotation um 90° den den Effekt der Richtungsumkehr der Zahl zur Folge hat, d.h. sie wird mit -1 multipliziert.
The statement j²=-1 incidentally, is the same as saying that rotation of a number through 90° followed by another rotation through 90° has the effect of reversing its original direction, i.e., multiplying it by -1.

Wir haben jetzt einen Teil der Lösung, wie der Ausdruck Z=Z1Z2/(Z1+Z2) zu interpretieren ist.
We now have part of the solution of how to interpret the expression: Z=Z1Z2/(Z1+Z2).

Wir brauchen aber noch einen weiteren Trick, um irgendwie mit der Division klarzukommen, und der erschließt sich, wenn man sieht, was passiert, wenn man die komplexe Zahl a+jb mit der komplexen Zahl a-jb multipliziert. Das ergibt:
One further trick is required in order to cope with the division part of the problem however, and this comes from noticing what happens when the complex number a+jb is multiplied by the complex number a-jb:

(a+jb)(a-jb) =a²+jab-jab-j²b²

=a²+b²

»a-jb« nennt man konjugiert komplex zu a+jb und umgekehrt.
a-jb is called the complex conjugate of a+jb, and vice versa.

Ein Stern, »*«, wird normalerweise an die konjugiert Komplexe einer Zahl angehängt: aus z.B. Z=R+jX, wird dann Z*=R-jX
An asterisk is normally used to denote the complex conjugate of a number, e.g., if Z=R+jX, then Z*=R-jX (Z* is pronounced "Z-star").

Wenn eine Zahl mit ihrer konjugiert Komplexen multipliziert wird, ist das Ergebnis immer reell.
When a number is multiplied by its complex conjugate, the result is always real.

Wenn also im Nenner eines Bruches ein j auftaucht, dann kann man den Zähler und den Nenner mit der konjugiert Komplexen multiplizieren.
Thus if j appears in the denominator (the bottom part) of a fraction, we can multiply both the numerator (the top part) and the denominator by the complex conjugate of the denominator.

Dieses Erweitern des Bruches ändert zwar den Wert nicht, macht den Nenner aber reell. Dadurch kann der Bruch wieder in eine Form gebracht werden, die wie a+jb aussieht.
Multiplying both the top and bottom of a fraction by the same number makes no difference to the value, but the operation makes the denominator real, so that the fraction can then be rearranged into a form which looks, once again, like a+jb.

Nun haben wir einen vollständigen Satz mathematischer Operationen, die auf Zeiger angewendet werden können und sind damit in der Lage, das Problem der Parallelschaltung von Impedanzen anzugehen.
We now have a complete set of definitions for mathematical operations involving phasors, and thus armed, we are in a position to attack the parallel impedance problem.

1-11. Parallelschaltung von Impedanzen

Wenn Z1=R1+jX1 und Z2=R2+jX2 gilt, welche Impedanz Z=R+jX ewrhält man, wenn Z1 und Z2 parallel geschaltet werden?
If Z1=R1+jX1 and Z2=R2+jX2, what is the impedance Z=R+jX which results from placing Z1 in parallel with Z2?

Jetzt werden Zähler und Nenner mit der konjugiert Komplexen des Nenners mutipliziert:
Now multiply numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator:

und der Ausdruck im Nenner ausmultipliziert, um zu zeigen, dass der Nenner jetzt reell ist.
and multiply out the terms in the denominator to show that it is now real:

Die Audrücke im Zähler werden ausmultipliziert und die reellen und imaginären Anteile zusammengefasst, sodass wir wieder die Form a+jb erhalten.
The terms in the numerator are now multiplied out and rearranged so as to separate the real and imaginary parts, i.e. the numerator is put into the form a+jb as follows.

Nun wird ausmultipliziert und zusammengefasst:
Simplification of this expression involves multiplying out the brackets and crossing out any pairs of terms which are equal and opposite:

Dadurch bleibt das übrig:
Which leaves us with:

d.h.:
i.e.:

1-11-1

eine andere Schreibweise, die mitunter bevorzugt wird:
or alternatively, as is sometimes preferred:

1-11.1a

Der Realteil von 1-11.1 ist R und der Imaginärteil ist X, so dass wir schreiben können:
The real part of expression (1-11.1) is R, and the imaginary part is X, and so we may write:

and

Alternativ, wenn wir (1-11.1a) verwenden,gilt:
Alternatively, using expression (1-11.1a):

and

Die Formeln (und deren Varianten), die hier für parallel geschaltete Impedanzen entwickelt wurden, haben den Vorteil, allgemein gültig zu sein, wenn sie auch nicht besonders übersichtlich scheinen.
The formula (and variants) given above for impedances in parallel, while not exactly memorable, has the advantage of being completely general.

Wenn wir X1=X2=0 setzen, dann verschwinden alle Blindkomponenten und es bleibt die Formel für die Parallelschaltung von zwei Widerständen übrig: R=R1R2/(R1+R2).
First note that if we put X1=0 and X2=0, then all of the reactive terms vanish and we are left with the formula for resistors in parallel, i.e., R=R1R2/(R1+R2).

Ähnliches passiert, wenn wir R1=R2=0 setzen, dann erhalten wir die Formel zur Parallelschaltung von Blindkomponenten X=X1X2/(X1+X2).
Similarly, if we put R1=R2=0, we end up with the parallel reactance formula X=X1X2/(X1+X2).

Mehr noch, so können wir auch nur X2=0 setzen und sehen, was passiert, wenn ein Widerstand mit einer Impedanz parallel geschaltet wird, und wir können R2=0 setzen und sehen, was passiert, wenn ein reiner Blindwiderstand zu einer Impedanz parallel geschaltet wird.
More to the point however, we can put only X2=0 and so find out what happens when a resistance is placed in parallel with an impedance, and we can put R2=0 and find out what happens when a pure reactance is placed in parallel with an impedance.

Die letzte Möglichkeit, das werden wir später sehen, ist von besonderer Wichtigkeit bei der Analyse von Netzwerken zur Antennenanpassung.
The latter operation, as we shall see in later chapters, is of particular importance in the matter of analysing antenna matching networks.